Homogénéisation d’équations hyperboliques du premier ordre et application aux écoulements miscibles en milieu poreux

Abstract
This paper is devoted to the homogenization of the following hyperbolic équation ∂_{t}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} + a^{\mathrm{\varepsilon }}(t,y)∂_{x}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} = 0,\:t > 0,\:x \in ℝ,\:y \in \mathrm{\Omega } \subset ℝ^{\mathrm{N}}, with initial data and boundary condition when x \in ]0, 1[ . One characterize the L^∞ weak \ast limit of some holomorphic functions of the type \mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1} , \lambda \in \mathbb C \setminus [m,M] with 0 < m ≦ A^ε(y) ≦ M for a.e., y, by using the integral representation of Nevanlinna–Pick’s holomorphic functions. It appears in the homogenized equation the natural transport operator and a diffusion operator (in the x variable) with memory effect (in the time variable t ). An application for a multidimensional miscible flow in porous media is given. Résumé: On s’intéresse à l’homogénéisation de l’équation hyperbolique modèle ∂_{t}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} + a^{\mathrm{\varepsilon }}(t,y)∂_{x}\:u^{\mathrm{\varepsilon }} = 0,\:t > 0,\:\:x \in ℝ,\:y \in \mathrm{\Omega } \subset ℝ^{\mathrm{N}}, munie d’une condition initiale (et d’une condition aux limites lorsque x \in ]0, 1[ ). Pour cela, nous caractérisons la limite L^∞(Ω) faible \ast de fonctions du type \mathrm{\varphi }_{x}^{\mathrm{\varepsilon }}(\mathrm{\lambda }) = (\mathrm{\lambda }−\mathrm{A}^{\mathrm{\varepsilon }}(y))^{−1} définies pour , λ\notin [m, M] et vérifiant 0 < m ≦ Α^ε(y) ≦ M , en utilisant la représentation intégrale de fonctions holomorphes du type Nevanlinna–Pick . L’équation homogénéisée fait apparaître en plus de la partie de transport de l’équation, un opérateur de diffusion à mémoire. Une application à un modèle multidimensionnel d’écoulements miscibles en milieu poreux est considérée.

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