Stability of Sheet Water Flow Under a Glacier

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Abstract
Walder recently analyzed the initial instability of water flow in a sheet under a glacier that is produced by greater heat production in the flowing water and thus the larger rate of ice melting where a perturbation has increased the water sheet thickness. We have looked at the problem from the other presumed final state. We assume that instabilities have finally caused all the water to flow in channels (R-channels) at the bed. We investigated whether these channels can collect enough of the water that is produced by the geothermal heat and the heat sliding to remain in existence. When a basal shear stress is present, the distance out to which a channel can collect water is not that much greater than the channel radius itself. It is concluded that it is not likely for the channel to be able to collect appreciable amounts of water that is produced at the bed. Hence despite the indication that an instability initially might grow in a water sheet, this instability either cannot develop to the point when the water flow is primarily in channels or else the water flow alternates cyclically between a state primarily of sheet flow and a state of channel flow. It would appear that the channels that do exist under a glacier have their primary origin in the melt water from the upper surface that pours down moulins and thus is already channelized by the time it reaches the bed. Résumé Walder a récemment analysé l’instabilité initiale de l’écoulement d’eau en nappe sous un glacier en raison de la plus grande production de chaleur dans l’eau courante et donc de la plus forte fusion lorsqu’une perturbation a accru l’épaisseur du film liquide. Nous avons examiné le problème à partir de l’état final présumé. Nous supposons que les instabilités ont finalement provoqué la concentration de tous les écoulements liquides dans des chenaux (chenaux-R) dans le lit. Nous avons cherché à voir si ces chenaux peuvent recueillir suffisamment de l’eau produite par le flux géothermique et la chaleur de glissement pour rester actifs. Lorsqu’il y a un effort de cisaillement au fond, la distance sur laquelle un chenal peut recueillir de l’eau n’est pas beaucoup plus grande que le rayon du chenal lui-même. On conclut qu’il n’est pas probable qu’un chenal recueille une part appréciable de l’eau produite au contact du lit. Par conséquent, malgré les raisons d’une instabilité initiale de la nappe d’eau liquide cette instabilité ou bien ne peut pas se développer lorsque l’eau est principalement dans des chenaux ou bien les eaux présentent des stades alternatifs cycliques d’écoulement en nappe et d’écoulement en chenaux. Il semblerait que les chenaux qui existent en réalité sous un glacier ont leur première origine dans les eaux de fontes de surfaces qui sont déjà concentrées dans des moulins au cours de leur descente vers le fond. Résumé Walder analysierte jüngst die anfängliche Instabilität des Wasserflusses in einer Schicht unter einem Gletscher, die durch die höhere Wärmeproduktion im fliessenden Wasser und die damit verbundene grössere Schmelzrate an Stellen, wo eine Störung die Dicke der Wasserschicht verstärkt, hervorgerufen wird. Wir haben das Problem von der anderen Seite her, nämlich dem angenommenen Endzustand, angegangen. Wir nehmen an, dass infolge von Instabilitäten schliesslich alles Wasser in Kanälen am Untergrund (R-Kanälen) fliesst. Wir untersuchten, ob diese Kanäle genug von dem durch geothermische Wärme erzeugten Wasser aufnehmen können und ob das Gleiten infolge Erwärmung aufrecht erhalten bleibt. Wenn eine Scherspannung am Untergrund vorhanden ist, ist die Entfernung, bis zu der ein Kanal Wasser sammeln kann, nicht viel grösser als der Radius des Kanals selbst. Daraus lässt sich schliessen, dass der Kanal vermutlich keine nennenswerten Wassermengen, die am Untergrund erzeugt werden, aufnehmen kann. Obwohl also eine Instabilität in einer Wasserschicht zunächst zunehmen mag, kann sich diese Instabilität entweder nicht bis zu jenem Grad entwickeln, bei dem das Wasser hauptsächlich in Kanälen fliesst, oder der Wasserfluss wechselt zyklisch zwischen einem Zustand des Schichtflusses und einem solchen des Flusses in Kanälen. Es scheint wahrscheinlich, dass die Kanäle, die unter einem Gletscher tatsächlich vorhanden sind, in erster Linie von dem Oberflächenschmelzwasser gebildet werden, das bereits in Mühlen gefasst ist, wenn es zum Untergrund abfliesst.