Remarks on the large time behaviour of a nonlinear diffusion equation

Abstract
Consider the diffusion equation u_t − Δu = |u|^{p − 1}u (where p > 1 + \frac{2}{\mathrm{N}} and (N − 2) p < N + 2 ) on the space ℝ^N . We prove that either \Vert u(t)\Vert_∞ blows-up in finite time or \Vert u(t)\Vert_∞ goes to zero like t^{−1/(p − 1)} as t → +∞ . We give also a new proof to the fact that when u(t) ≧ 0 and 1 < p≦1 + \frac{2}{\mathrm{N}} then \Vert u(t)\Vert_∞ blows-up in finite time. Sufficient conditions for global existence or blow-up are given, and the case where instead of ℝ^N one has a cone like domain is also studied. Résumé: Nous étudions le comportement en temps des solutions de u_t − Δu = |u|^{p − 1}u . Nous montrons que si p > 1 + \frac{2}{\mathrm{N}} et (N − 2) p < N + 2 , ou bien \Vert u(t)\Vert_∞ explose en temps fini, ou bien \Vert u(t)\Vert_∞ tend vers zéro comme t−1/(p − 1) lorsque t → ∞ . On donne également une nouvelle démonstration du fait que si 1 < p≦1 + \frac{2}{\mathrm{N}} et u(t) ≧ 0 , alors \Vert u(t)\Vert_∞ explose en temps fini. Des conditions suffisantes pour l’existence globale (ou l’explosion en temps fini) sont présentées, et le cas où ℝ^N est remplacé par un cône est également étudié.

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