Shape-invariant modelling of human growth

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Abstract
A new approach to modelling human height growth is presented which is also suitable for other variables. In a mathematical algorithm, some guess about the functional form of this growth process is improved consistently using the data; the resulting shape-invariant model (SIM) allows an approximately bias-free fitting for longitudinal data from 1 to 20 years with six parameters assigned to each individual. The SIM approach and the use of velocities rather than distances proved to be suitable for biomathematical modelling in order to answer questions qualitative in nature. In comparison of an additive two-component SIM and one where the appearance of puberty inhibits further growth of the non-pubertal component (‘switch-off model’), the latter proved to be superior in various aspects. The model structure turned out to be the same for boys and girls, both before and during puberty. Among the qualitative features found are notable: a pronounced midspurt, and a dip before the onset of puberty, as well as the asymmetry of the pubertal peak. A preliminary analysis of individual parameters confirmed some results found previously by other methods regarding sex differences and relations between parameters and with adult height. Wir stellen einen neuen Ansatz zur Modellbildung des Höhenwachstums des Menschen vor, der a uch für andere Variablen geeignet ist. In einem mathematischen Algorithmus wird eine a priori Vorstellung über die funktionelle Form dieser Entwicklung unter Benützung der Daten verbessert; das resultierende 2-Komponenten ‘shape-invariant model’ (SIM) erlaubt eine approximativ biasfreie Anpassung an longitudinale Daten von 1 bis 20 Jahre, wobeijeder individuelle Verlauf durch 6 Parameter charakterisiert ist. Der SIM-Ansatz erwies sich als geeignet, grundlegende qualitative Fragen zu beantworten. Bei einem Vergleich zwischen einem 2-Komponenten SIM, das additiv ist, und einem, bei dem das Erscheinen der Pubertät weiteres Wachstum der nicht-pubertären Komponente inhibiert (‘Abschalt-Modell’), erwies sich letzteres in verschiedener Hinsicht als überlegen. Die Modellstruktur, sowohl vor als auch während der Pubertät, wurde für Jungen und Mädchen als identisch geschätzt. Erwähnenswert an qualitativen Merkmalen der gefundenen Modellstruktur ist: ein ausgeprägter Zwischenspurt, ein Absinken der Geschwindigkeit vor dem Pubertätsschub and eine deutliche Asymmetrie des Pubertätsgipfels. Eine vorläufige statistische Analyse der individuellen Parameter bestätigt einige mit anderen Methoden erzielte Ergebnisse bezüglich Geschlechtsunterschiede und Assoziationen zwischen Parametern. Nous présentons une nouvelle méthode pour l'estimation des courbes de croissance en taille des garçons et des filles, qui pourrait e˘tre aussi appliquée à d'autres paramètres. Une estime initiale de la forme fonctionelle de ces courbes est améliorée d'une façon consistante avec les données par une procédure mathématique récursive. Le modèle qui en résulte, appelé shape-invariant (SIM) à deux composants permet une description dépourvue de bias des courbes de croissance de 1 à 20 ans, chaque courbe individuelle étant caractérisée par 6 paramètres. Le modèle shape-invariant est de grande utilité dans une discussion qualitative de modèles biomathématiques de la croissance. Aussi l'application du modèle aux courbes de vitesse, plutôt qu'aux distances donne une meilleure idée de ces phénomènes. Nous comparons deux modèles SIM à deux composants, le premier est additif, dans le deuxième (switch-off SIM) l'apparition du composant ‘pubertaire’ cause une réduction et, après un certain délai, la disparition du composant non pubertaire. Le modèle switch-off paraît supérieur de bien des points de vue au modèle purement additif et est discuté dans la suite du travail. Il se trouve que le me˘me modèle (shape functions) s'applique chez les garçons et chez les filles, aussi bien avant que pendant la puberté. Les autres aspects intéressants du modèle sont: une poussée de croissance prépubertaire (midspurt growth) une anfractuosité avant le début de la poussée de croissance pubertaire, une très claire asymmétrie au pic correspondant. Une analyse statistique préliminaire des paramètres individuels confirme les résultats de travaux précédants à propos des différences entre les sexes et des relations de ces paramètres entre eux et avec la taille adulte.