Periodic solutions for a class of Lorenz–Lagrangian systems

Abstract
The class of Lorenz–Lagrangian systems under consideration are those of the form −\mathrm{A}\"q = \nabla \mathrm{V}(q) , q \in ℝ^n , where A is a real, symmetric matrix with eigenvalues µ_1 < 0 < µ_2 ≦ … ≦ µ_n , the corresponding eigenvectors being e_i , 1 ≦ i ≦ n . If \mathrm M^+ and \mathrm M^− are disjoint infinite submanifolds of ℝ^n which are the graphs of bounded real-valued functions on span \{e_2, …, e_n\} with \mathrm V = 0 on \mathrm M^+ \cup \mathrm M^- , \mathrm V > 0 on the region Ω between \mathrm M^+ and \mathrm M^− , and \langle \nabla \mathrm{V},e_{1}\rangle \neq 0 on ℝ^{n}\setminus \mathrm{\Omega } , then we show that there exists a periodic solution of this system, provided that ∇\mathrm V points towards the e_1 axis outside a large cylinder centred on the e_1 axis. Résumé: On étudie une classe de systèmes de Lorentz–Lagrange dans ℝ n de la forme −\mathrm{A}\"q = \nabla \mathrm{V}\left(q\right) , où A est une matrice sysmétrique réelle de valeurs propres µ_1 < 0 < µ_2 ≦ … ≦ µ_n . Les vecteurs propres correspondants sont notés e_1, …, e_n . On suppose qu’il existe sur l’hyperplan engendré par e_2, …, e_n deux fonctions bornées, dont les graphes \mathrm M^+ et \mathrm M^- sont disjoints, et telles que \mathrm V > 0 entre \mathrm M^+ et \mathrm M^- et \mathrm V = 0 sur \mathrm M^+ et \mathrm M^- . On montre alors que le système possède une solution périodique pourvu que \langle \nabla \mathrm{V},e_{1}\rangle \neq 0 hors de Ω et que ∇\mathrm V soit dirigé vers l’axe e_1 loin de celui-ci.

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