The Cauchy problem for the Schrödinger equation in dimension three with concentrated nonlinearity

Abstract
We consider the Schrödinger equation in \mathbb{R}^{3} with nonlinearity concentrated in a finite set of points. We formulate the problem in the space of finite energy V , which is strictly larger than the standard H^1 -space due to the specific singularity exhibited by the solutions. We prove local existence and, for a repulsive or weakly attractive nonlinearity, also global existence of the solutions. Résumé: On considère l’équation de Schrödinger avec une nonlinéarité concentrée en un nombre fini de points. On formule le problème dans l’espace V d’énergie finie, qui contient strictement l’espace standard H^1 , à cause de la singularité spécifique des solutions. On prouve des résultats d’existence locale et même, pour une nonlinéarité répulsive ou faiblement attractive, l’existence globale des solutions.

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