On the global Cauchy problem for some non linear Schrödinger equations

Abstract
We study the Cauchy problem for a class of non linear Schrödinger equations in space time dimension n + 1 . We look for solutions which are continuous functions of time with values in the Sobolev space H^k(ℝ^n) , k > n/2 . Under suitable assumptions on the interactions, we prove in particular the existence of global solutions for n ≤ 7 . The global existence proof breaks down for n ≥ 8 . Résumé: On étudie le problème de Cauchy pour une classe d’équations de Schrödinger non linéaires en dimension n + 1 d’espace temps. On cherche des solutions fonctions continues du temps à valeurs dans l’espace de Sobolev H^k(ℝ^n) ), k > n/2 . Sous des hypothèses convenables sur les interactions, on prouve en particulier l’existence de solutions globales pour n ≤ 7 . La démonstration d’existence globale ne s’applique pas pour n ≥ 8 .

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