Hodge decomposition for higher order Hochschild homology

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Abstract
Let Γ be the category of finite pointed sets and F be a functor from Γ to the category of vector spaces over a characteristic zero field. Loday proved that one has the natural decomposition We show that for any d≥1, there exists a similar decomposition for πnF(Sd). Here Sd is a simplicial model of the d-dimensional sphere. The striking point is, that the knowledge of the decomposition for πnF(S1) (respectively πnF(S2)) completely determines the decomposition of πnF(Sd) for any odd (respectively even) d. These results can be applied to the cohomology of the mapping space XSd, where X is a d-connected space. Thus Hodge decomposition of H∗(XS1) and H∗(XS2) determines all groups H∗(XSd),d≥1 . Soient Γ la catégorie des ensembles finis pointés et F un foncteur de la catégorie Γ vers la catégorie des espaces vectoriels sur un corps de caractéristique zéro. Loday montre dans (Loday, 1998) que l'on a une décomposition naturelle On démontre dans cet article qu'il existe une décomposition naturelle pour πnF(Sd), où Sd est un modèle simplicial pour les sphères de dimension d. Le fait important ici est que la décomposition pour d=1 (resp. d=2) détermine complètement la décomposition pour tout d impair (resp. pair). Ce résultat peut être appliqué à la cohomologie des espaces fonctionnels XSd. Donc les décompositions de H∗(XS1) et H∗(XS2) déterminent complètement tous les groupes H∗(XSd),d≥1 .

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