Some Approximations to the Percentage Points of the Non-Central t-Distribution

In this paper the following approximations to the percentage points of the non-central t-distribution are considered. I. Three closely related approximations based on a normal approximation to the distribution of $\underline{x}+k\sqrt{\underline{\chi}^{2}},^{2}$ where x possesses a normal distribution with zero mean and variance 1 and where $\underline{\chi}^{2}$ possesses a χ 2-distribution with f degrees of freedom (x and $\underline{\chi}^{2}$ are distributed independently). Two of these approximations were derived by W. J. Jennett and B. L. Welch (1939) and by N. L. Johnson and B. L. Welch (1940) respectively. The third one was derived by W. A. Hendricks (1936) for the percentage points of the central t-distribution (Student's distribution) and could be generalized for the non-central t-distribution. II. Four closely related approximations based on a method used by H. Goldberg and H. Levine (1946) for the percentage points of the central t-distribution. In this case the percentage-points are expressed in a power-series in 1/f, the coefficients being functions of a normal variable with zero mean and variance 1. III. The approximation of M. Merrington and E. S. Pearson (1958) based on a Pearson type IV-approximation to the non-central t-distribution. IV. The approximation of B. I. Harley (1957) based on an approximation of the distribution of a function of t by the distribution of the correlation coefficient in samples from a bivariate normal distribution. V. An approximation mentioned in D. B. Owen's table of factors for one-sided tolerance limits for a normal distribution (1958). This approximation is based on an approximate relation between one- and two-sided tolerance limits. VI. An approximation based on a normal approximation to the non-central t-distribution. These approximations are compared with the exact percentage points for several values of the non-centrality parameter δ, the probability α and the number of degrees of freedom f. For the central t-distribution the approximations are especially important for large values of f, where no tables are available. Then one of the approximations II is the best one: it is identical with the exact percentage points in three decimal places for 0.50≤ α ≤ 0.99. For the non-central t-distribution we used f = 2(1)9. For these values of f the approximations I and II are the most important ones. In some cases III or IV may be better, but for these approximations more computational work is needed. The approximations V and VI are not recommended; VI only gives reasonable results for the central t-distribution. Further the paper contains a description of the exact tables of the non-central t-distribution. /// Quelques approximations des percentiles de la distribution non centrée de t. Dans cet article nous voulons considérer les approximations suivantes des percentiles de la distribution non centrée de t. I. 3 approximations qui sont en relation étroite l'une avec l'autre et sont basées sur une approximation normale de la distribution de $\underline{x}+k\sqrt{\underline{\chi}^{2}}$, où x a une distribution normale avec moyenne zéro et avec variance 1 et où $\underline{\chi}^{2}$ a une distribution de χ 2 avec f degrés de liberté ($\underline{x}\ {\rm et}\ \underline{\chi}^{2}$ sont distribués indépendamment). Deux de ces approximations ont été établies par W. J. Jennett et B. L. Welch (1939) et par N. L. Johnson et B. L. Welch (1940) respectivement. La troisième a été établie par W. A. Hendricks (1936) pour les percentiles de la distribution centrée de t (distribution de Student) et peut être généralisée pour la distribution non centrée de t. II. 4 approximations qui sont en relation étroite l'une avec l'autre et qui ont été trouvées au moyen du développement de Cornish-Fisher (1937). Ces approximations-ci sont une généralisation des approximations de H. Goldberg et H. Levine (1946) et de A. M. Peiser (1943) pour les percentiles de la distribution centrée de t. III. L'approximation de M. Merrington et E. S. Pearson (1958) basée sur l'approximation de type IV de Pearson de la distribution non centrée de t. IV. L'approximation de B. I. Harley (1957) basée sur une approximation de la distribution d'une fonction de t par la distribution du coefficient de corrélation dans des échantillons d'une distribution normale à deux variables. V. Une approximation mentionnée dans la table de coefficients pour les limites de tolérance d'une distribution normale, dressée par D. B. Owen (1958). Cette approximation est basée sur une rélation approximative entre des limites de tolérance unilatérales et bilatérales. VI. Une approximation basée sur une approximation normale de la distribution non centrée de t. Ces approximations sont compareés avec les percentiles exactes pour plusieurs valeurs du paramètre de non-centralité δ, la probabilité α et le nombre de degrés de liberté f. Pour la distribution centrée de t, les approximations sont spécialement importantes pour les valeurs larges de f, pour lesquelles on ne peut pas disposer de tables. Alors une des approximations II est la meilleure; elle est identique aux percentiles exactes jusqu' à 3 décimales pour 0,50≤ α ≤ 0,99. Pour la distribution non centrée de t nous avons employé f = 2(1)9. Pour ces valeurs-ci de f les approximations I et II sont les plus importantes. Dans quelques cas III et IV peuvent être meilleures, mais pour ces approximations il faut plus de calculs. Les approximations V et VI ne sont pas recommandables. L'approximation VI seulement donne des résultats raisonnables pour la distribution centrée de t. Pour le reste l'article contient une description des tables exactes de la distribution non centrée de t