The Flow of a Glacier in a Channel of Rectangular, Elliptic or Parabolic Cross-Section

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Abstract
Numerical solutions are found for the steady rectilinear flow of ice, obeying Glen’s non-linear flow law, down uniform cylindrical channels of rectangular, semi-elliptic and parabolic cross-section. The results are also directly applicable to the pumping of a non-Newtonian fluid down a pipe. There is assumed to be no slip of the ice on the channel surface. Certain results on the centre-line velocity in symmetrical channels may be derived purely from dimensional and symmetry principles. An analytical solution due to Dr. W. Chester is given for a semi-elliptic channel section which departs only slightly from a semi-circle. Contrary to a view sometimes held, the maximum shear stress at the ice surface in a parabolic channel and in some elliptical channels does not always occur at the edge. With the flow law, strain-rate proportional to (stress)3, the velocity averaged across the ice surface, which is easily measured with a line of stakes, is close to the average velocity over the whole section for a wide range of parabolic sections; the hydrological importance of this result is that the discharge may be inferred without the need to measure the velocity at depth. Arguments are given to show that the result still holds when there is slipping on the bed and when the power in the flow law differs somewhat from 3, Depending on the amount of bed slip and the shape of the channel section, the kinematic wave velocity for a range of parabolic channels is between 2.0 and 2.3 times the centre-line velocity of the ice, and between 2.0 and 3.5 times the mean surface velocity of the ice. Résumé On a trouvé des solutions pour l’écoulement permanent rectilinéaire de la glace obéissant à la loi non linéaire d’écoulement de Glen, le long d’un canal régulier cylindrique de section droite rectangulaire, serni-elliptique ou parabolique. Les résultats sont aussi directement applicables au pompage d’un fluide non newtonien à travers une conduite. Il est supposé que la glace ne glisse pas à la surface du canal. Certains résultats de la vitesse de la ligne centrale peuvent étre déduits des considérations de dimension et de symétrie. Une solution analytique du Dr. W. Chester est donnée pour un canal de section semi-elliptique qui ne diffère que de peu d’une section semi-circulaire. Contrairement à une opinion énoncée parfois, le maximum de la tension de cisaillement dans un canal parabolique ou elliptique ne se manifeste pas toujours sur le bord pour la surface de la glace. Avec la loi d’écoulement, vitesse de déformation proportionnelle au cube de la contrainte, la moyenne de la vitesse superficielle le long d’un profil transversal, facilement mesurée par une ligne de balises, est proche de la vitesse moyenne pour toute la section pour bien des sections paraboliques; une conclusion hydrologique importante en découle, à savoir que le débit peut étre obtenu sans mesure des vitesses profondes. Des arguments sont présentés pour montrer que ces résultats sont valables méme lorsqu’il y a glissement sur le lit et lorsque la puissance de la loi d’écoulement diffère quelque peu de trois. Dépendant du glissement sur le lit et de la forme de la section du canal, la vitesse dc la vague cinématique pour un ensemble de sections paraboliques est comprise entre 2,0 et 2,3 fois la vitesse de la ligne centrale de la glace, et entre 2,0 et 3,5 fois la vitesse moyenne superficielle. Zusammenfassung Für das stetige, geradlinige Fliessen von Eis nach Glen’s nichtlinearem Fliessgesetz in gleichförmigen zylindrischen Betten mit rechteckigem, halbelliptisehem und parabolischem Querschnitt werden numerische Lösungen gegeben. Die Ergebnisse sind auch unmittelbar auf das Pumpen einer nicht-Newton’schen Flüssigkeit durch ein Rohr anwendbar. Es wird angenommen, dass das Eis am Untergrund nicht gleitet. Gewisse Ergebnisse über die achsiale Geschwindigkeit in symmetrischen Better können allein aus Dimensions- und Symmetrieverhältnissen abgeleitet werden. Für ein Bett, dessen halbelliptischer Querschnitt nur wenig von einem Halbkreis abweicht, wird eine analytische Lösung nach Dr. W. Chester gegeben. Im Gegensatz zu einer manchmal geäusserten Ansicht tritt die maximale Seherspannung an der Eisoberfläche in parabolischen und in einigen elliptischen Betten nicht immer am Eisrande auf. Setzt man im Fliessgesetz. die Verformungsgeschwindigkeit proportional zur dritten Potenz der Spannung, so kommt die mittlere Fliessgeschwindigkeit quer über die Eisoberfläche, die leicht durch eine Pegelreihe gemessen werden kann, der mittleren Geschwindigkeit im ganzen Querschnitt für einen weiten Bereich parabolischer Quetschnittsformen sehr nahe. Die hydrologische Bedeutung dieses Ergebnisses liegt in der Tatsache, dass der Durchfluss ohne Geschwindigkeitsmessungen in der Tiefe ermittelt werden kann. Es werden Gründe für die Gültigkeit theses Ergebnisses auch bei Gleiten am Untergrund und bei leichtem Abweichen des Fliessgesetz-Expnnenten von 3 angeführt. In Abhängigkeit von dem Betrag des Gleitens am Untergrund und von der Form des Bettquerschnitts beträgt die Geschwindigkeit kinetnatischer Wellen für eine Reihe von parabolischen Betten zwischen dem 2,0 bis 2,3-lachen der achsialen Eisgeschwindigkeit und zwischen dem 2,0 bis 3,5-fachen der mittleren Oberflächcngeschwindigkeit des Eises.

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