Critère d’existence de solutions positives pour des équations semi-linéaires non monotones

On donne une condition nécessaire et suffisante sur $f\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U})$, f ≥ 0, pour que l’équation $u\left(x\right)={\int }_{\mathrm{U}}\mathrm{N}\left(x,y\right)j\left(u\left(y\right)\right)dy+f\left(x\right)\mathrm{p.p.}x\in \mathrm{U}$ ait une solution positive; ici, j est une fonction convexe de [0, ∞[ dans [0, ∞[ et N est un noyau positif de ${\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U}\times \mathrm{U})$. Entrent dans ce cadre les équations semi-linéaires elliptiques et paraboliques non monotones avec non-linéarité convexe comme, par exemple, le problem $\{\begin{array}{l}-\mathrm{\Delta }u=u^{\mathrm{\gamma }}+g\mathrm{sur}\mathrm{\Omega },g\ge 0\mathrm{et}\mathrm{\gamma }>1\text{donn}\mathrm{é}s\hfill \\ u\ge 0u=0\mathrm{sur}\partial \mathrm{\Omega }\hfill \end{array}$ et sa version parabolique. Les applications à ces exemples sont traitées en détail. Des conditions nécessaires en termes de ${\mathrm{W}}^{2,\mathrm{\gamma }\prime }$-capacité sont explicitées. We give a necessary and sufficient condition on $f\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U})$, f ≥ 0 for the existence of a nonnegative solution for the equation $u\left(x\right)={\int }_{\mathrm{U}}\mathrm{N}\left(x,y\right)j\left(u\left(y\right)\right)dy+f\left(x\right)\mathrm{a.e.}x\in \mathrm{U}.$ Here j is a convex function from [0, ∞[ into [0, ∞[ and N is a nonnegative kernel of ${\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U}\times \mathrm{U})$. This equation contains as a special case elliptic and parabolic semilinear equations of nonmonotone type like, for instance $\{\begin{array}{l}-\mathrm{\Delta }u=u^{\mathrm{\gamma }}+g\mathrm{on}\mathrm{\Omega },g\ge 0\mathrm{and}\mathrm{\gamma }>1\mathrm{given}\hfill \\ u\ge 0u=0\mathrm{on}\partial \mathrm{\Omega }\hfill \end{array}$ and its parabolic version. These examples are treated in detail. Necessary conditions in terms of ${\mathrm{W}}^{2,\mathrm{\gamma }\prime }$-capacity are also given.