Finite-differences discretizations of the mumford-shah functional

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Abstract
About two years ago, Gobbino [21] gave a proof of a De Giorgi's conjecture on the approximation of the Mumford-Shah energy by means of finite-differences based non-local functionals. In this work, we introduce a discretized version of De Giorgi's approximation, that may be seen as a generalization of Blake and Zisserman's “weak membrane” energy (first introduced in the image segmentation framework). A simple adaptation of Gobbino's results allows us to compute the Γ-limit of this discrete functional as the discretization step goes to zero; this generalizes a previous work by the author on the “weak membrane” model [10]. We deduce how to design in a systematic way discrete image segmentation functionals with “less anisotropy” than Blake and Zisserman's original energy, and we show in some numerical experiments how it improves the method. Une conjecture récente de De Giorgi, sur l'approximation de la fonctionnelle de Mumford et Shah par des fonctionnelles non locales basées sur des différences finies, a été démontrée il y a un peu plus de deux ans par Gobbino [21]. Nous introduisons dans ce travail une version discrétisée de l'approximation de De Giorgi, que l'on peut voir comme une généralisation de l'énergie de “membrane faible” introduite par Blake et Zisserman pour la segmentation d'images. Une adaptation élémentaire des démonstrations de Gobbino permet de calculer la Γ-limite de cette approximation discrète, lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro ; ce calcul généralise un résultat précédent de l'auteur sur l'énergie de “membrane faible” [10]. On déduit ainsi une manière de construire systématiquement des fonctionnelles de segmentation d'images “moins anisotropes” que l'énergie originale de Blake et Zisserman, et l'amélioration obtenue est illustrée par des expériences numériques.

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