On subsemigroups of semisimple Lie groups

In this paper, we consider a real connected semisimple Lie group G and ask whether or not a subset S of G generates G as a semigroup. We deal with the special case where S is infinitesimally generated, i.e. S = {exp t X|X ∈ Σ, t ∈ ℝ₊} for some subset Σ of L, the Lie algebra of G. In the case where Σ is a symmetric subset of L (i.e. Σ = −Σ), this is equivalent to the fact that S generates G as a group. It is also known, by an old result of Kuranishi, that S generates G as soon as Σ is a symmetric subset of L of the form {±X, ±Y} for generic pairs (X, Y) in L × L. In the case where Σ = {X, Y}, almost nothing is known, except in the compact case where Kuranishi’s result still holds. We deal with the intermediate case where Σ = {X, ±Y}. This case is specially important in control theory, where such sets Σ apear naturally through control systems of the “classical control-affine form ${\displaystyle \stackrel{·}{x}}=X\left(x\right)+uY\left(x\right)$”. A theorem is proven, which is the final form of several results in a series of papers of all of the authors. This theorem improves on all these results. Dans cet article, on considère un groupe de Lie réel connexe semi-simple G et on se demande quand est-ce qu’une partie S de G engendre G en tant que semigroupe. On s’intéresse au cas particulier où S est infinitésimalement engendré, i.e. S = {expt X|X ∈ Σ, t ∈ ℝ₊}, par une partie Σ de L, l’algèbre de Lie de G. Dans le cas οù Σ est une partie symétrique de L (i.e. Σ = −Σ) ceci est équivalent au fait que S engendre G comme un groupe. On sait, par un résultat de Kuranishi, que S engendre G dès que Σ est une partie symétrique de la forme {±X, ±Y} pour une paire générique dans L × L. Dans le cas οù Σ = {X, Y}, on ne sait presque rien sauf dans le cas compact où le résultat de Kuranishi est toujours vrai. On s’intéresse au cas intermédiaire où Σ = {X, ±Y}. Ce cas est particulièrement important dans la théorie du contrôle (systèmes affines classiques du type :${\displaystyle \stackrel{·}{x}}=X\left(x\right)+uY\left(x\right))$. Un théorème est démontré. Il est la forme finale de certains résultats d’une série d’articles des auteurs. Ce théorème implique tous les résultats précédents.