On a non linear partial differential equation having natural growth terms and unbounded solution

Abstract
We prove the existence of a solution of the nonlinear elliptic equation: A(u) + g(x, u,\mathrm Du) = h(x) , where A is a Leray–Lions operator from \mathrm{W}_{0}^{1,\:p}\left(\mathrm{\Omega }\right) into W^{−1, p'}(Ω) and g is a nonlinear term with “natural” growth with respect to \mathrm Du [i.e. such that |g(x, u, ξ)| ≦ b(|u|) (|ξ|^p+ c(x)) ], satisfying the sign condition g(x, u, ξ)u ≧ 0 but no growth condition with respect to u . Here h belongs to W^{−1, p'}(Ω) , thus the solution u of the problem does not in general be more smooth than \mathrm{W}_{0}^{1,\:p}\left(\mathrm{\Omega }\right) . The existence of a solution is also proved for the corresponding obstacle problem. Résumé: Nous démontrons l’existence d’une solution du problème elliptique non linéaire A(u) + g(x, u,\mathrm Du) = h(x) , où A est un opérateur de Leray–Lions de \mathrm{W}_{0}^{1,p}\left(\mathrm{\Omega }\right) à valeurs dans W^{−1, p'}(Ω) et où g est un terme non linéaire à croissance « naturelle » en \mathrm Du [i.e. tel que |g(x, u, ξ)| ≦ b(|u|) (|ξ|^p+ c(x)) ], qui satisfait la condition de signe g(x, u, ξ)u ≧ 0 mais dont la croissance en u n’est pas limitée. Le second membre h appartient à W^{−1, p'}(Ω) , et la solution u du problème n’est donc pas, en général, plus régulière que \mathrm{W}_{0}^{1,p}(\mathrm{\Omega }) . Nous démontrons également l’existence d’une solution pour l’inéquation variationnelle avec obstacle associée à ce problème.

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