Description of the lack of compactness for the Sobolev imbedding

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Abstract
We prove that any bounded sequence in a Hilbert homogeneous Sobolev space has a subsequence which can be decomposed as an almost-orthogonal sum of a sequence going strongly to zero in the corresponding Lebesgue space, and of a superposition of terms obtained from fixed profiles by applying sequences of translations and dilations. This decomposition contains in particular the various versions of the concentration-compactness principle. On montre que toute suite bornée d'un espace de Sobolev hilbertien homogène s'écrit, à une sous-suite près, comme la somme presque orthogonale d'une suite tendant vers zéro dans l'espace de Lebesgue correspondant par l'injection de Sobolev, et d'une superposition de suites de translatées-dilatées de profils fixes. On retrouve ainsi les différentes versions du principe de concentration-compacité.

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