Testing in locally conic models, and application to mixture models

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Abstract
In this paper, we address the problem of testing hypotheses using maximum likelihood statistics in non identifiable models. We derive the asymptotic distribution under very general assumptions. The key idea is a local reparameterization, depending on the underlying distribution, which is called locally conic. This method enlights how the general model induces the structure of the limiting distribution in terms of dimensionality of some derivative space. We present various applications of the theory. The main application is to mixture models. Under very general assumptions, we solve completely the problem of testing the size of the mixture using maximum likelihood statistics. We derive the asymptotic distribution of the maximum likelihood statistic ratio which takes an unexpected form. Dans cet article, nous étudions les tests de vraisemblance dans des modèles non identifiables. Nous donnons la loi asymptotique de la statistique du maximum de vraisemblance sous des hypothèses générales. Le point essentiel de la preuve est un changement de paramétrisation, dépendant de l'hypothèse nulle, conduisant à une reparamétrisation localement conique. La méthode montre comment la non identifiabilité induit la structure de la loi limite. L'application essentielle développée est celle des modèles de mélange de populations. En particulier, dans le cas d'un modèle de mélange de deux populations, et lorsque la loi inconnue n'est pas un mélange, nous prouvons la loi asymptotique de la statistique du maximum de vraisemblance, qui s'exprime à partir d'un processus gaussien sur un espace de dérivées.

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