On determining a Riemannian manifold from the Dirichlet-to-Neumann map

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Abstract
We study the inverse problem of determining a Riemannian manifold from the boundary data of harmonic functions. This problem arises in electrical impedance tomography, where one tries to find an unknown conductivity inside a given body from voltage and current measurements made at the boundary of the body. We show that one can reconstruct the conformal class of a smooth, compact Riemannian surface with boundary from the set of Cauchy data, given on a non-empty open subset of the boundary, of all harmonic functions. Also, we show that one can reconstruct in dimension n⩾3 compact real-analytic manifolds with boundary from the same information. We make no assumptions on the topology of the manifold other than connectedness. On étudie la détermination d'une variété riemannienne à partir des valeurs au bord de ses fonctions harmoniques. Ce problème apparaı̂t dans la tomographie d'impédance électrique, dont le but est de trouver une conductivité inconnue dans un corps à partir des mesures de voltage et de courant sur la frontière de ce corps. On démontre que la classe conforme d'une surface de Riemann compacte lisse peut être reconstruite à partir des données de Cauchy de toutes les applications harmoniques sur un sous-ensemble non vide et ouvert de la frontière. On démontre aussi qu'en dimension n⩾3 les variétés compactes analytiques avec bord peuvent être reconstruites à partir de la même information. La seule hypothèse topologique sur les variétés est qu'elles sont connexes.

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