Les cristaux considérés comme des graphes ou des 2-complexes ; le cas des cristaux apériodiques

Publisher Website
Google Scholar
Abstract
Il est habituel lorsqu'on invoque une symétrie cristalline, de la penser en termes de congruence entre les voisinages de deux points équivalents du cristal. Ceci implique nécessairement une notion métrique, dont le sens physique est d'ailleurs évident. Mais on peut avoir avantage dans certains cas à s'abstraire des propriétés métriques, et à penser les symétries d'un cristal en termes de chemins qui suivent les arêtes des mailles élémentaires (ou de son réseau réciproque). Ce sont alors les propriétés de graphe (ou plus généralement de 2-complexes) du cristal qui sont mises en évidence. Nous illustrons ici l'intérêt d'une telle approche sur deux exemples : 1) les propriétés de graphe d'un cristal permettent de forger une image des variations de courbure qui peuvent exister entre deux milieux ayant le même ordre local, un peu différente de celle qui ressortit à la description en termes de disinclinaisons ; la théorie topologique des revêtements, appliquée aux graphes cristallins, permet en effet d'établir une relation d'homomorphisme entre chemins correspondants ; la fibre du revêtement peut être interprétée comme le défaut nécessaire à la variation de courbure ; 2) elles permettent de donner une image simple de la topologie de la « surface atomique » d'un cristal apériodique (quasi-cristal) : nous montrons en effet que cette topologie est équivalente à la topologie des chemins sur un cristal tridimensionnel de courbure gaussienne négative et de symétrie icosaédrique qui est le revêtement universel des triacontaèdres de l'« espace perpendiculaire » du quasi-cristal