Multilinear eigenfunction estimates and global existence for the three dimensional nonlinear Schrödinger equations

We study nonlinear Schrödinger equations, posed on a three dimensional Riemannian manifold M  . We prove global existence of strong H¹ $H^1$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> solutions on M=S³ $M=S^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> and M=S²×S¹ $M=S^2\times S^1$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> as far as the nonlinearity is defocusing and sub-quintic and thus we extend results of Ginibre, Velo and Bourgain who treated the cases of the Euclidean space R³ ${\mathbb{R}}^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> and the torus T³=R³/Z³ ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> respectively. The main ingredient in our argument is a new set of multilinear estimates for spherical harmonics. On étudie l'équation de Schrödinger sur une variété de dimension trois M  . On démontre l'existence globale en temps de solutions fortes H¹ $H^1$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> si M=S³ $M=S^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> ou S²×S¹ $S^2\times S^1$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> , pour les non linéarités sous quintiques et défocalisantes. On étend ainsi les résultats de Ginibre et Velo et Bourgain qui ont traité les cas de l'espace euclidien R³ $R^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> et du tore T³=R³/Z³ ${\mathbb{T}}^3={\mathbb{R}}^3/{\mathbb{Z}}^3$ <!--mathContainer--> <!--Loading Mathjax--> respectivement. L'ingrédient essentiel de notre démonstration est l'obtention de nouvelles estimées multilinéaires pour les harmoniques sphériques.