Existence and uniqueness of diffusions on finitely ramified self-similar fractals

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Abstract
We give a criterion for the existence and uniqueness or the non-existence of the diffusions on a finitely ramified self-similar fractal. In classical examples this criterion is easy to apply and in particular, it gives the uniqueness of the diffusion on nested fractals (Lindstrøm proved the existence in [19] but the problem of uniqueness remained unsolved) and completly solves the problem of existence and uniqueness in the case of the Sierpinski gasket with inhomogeneous weights. This problem also gives a solution to a non trivial problem of fixed point for a non-linear, non-expansive map of a cone with the Hilbert's projective metric (cf. [23]). Nous donnons un critère de non-existence ou d'existence et d'unicité des diffusions sur un ensemble auto-similaire finiment ramifié. Dans les exemples classiques ce critère s'applique facilement et donne en particulier l'unicité dans le cas des “nested fractals” (Lindstrøm avait prouvé l'existence mais le problème de l'unicité restait ouvert) et donne une solution complète dans le cas du “Sierpinski gasket” avec des poids inhomogènes. Ce papier donne aussi un exemple de solution à un problème non-trivial de point fixe pour une transformation non-linéaire et contractante d'un cône muni de la métrique de Hilbert (cf. [23]).

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