Arrangement of hyperplanes. I: Rational functions and Jeffrey-Kirwan residue

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Abstract
Consider the space RΔ of rational functions of several variables with poles on a fixed arrangement Δ of hyperplanes. We obtain a decomposition of RΔ as a module over the ring of differential operators with constant coefficients. We generalize the notions of principal part and of residue to the space Δ, and we describe their relations to Laplace transforms of locally polynomial functions. This explains algebraic aspects of the work by L. Jeffrey and F. Kirwan about integrals of equivariant cohomology classes on Hamiltonian manifolds. As another application, we will construct multidimensional versions of Eisenstein series in a subsequent article, and we will obtain another proof of a residue formula of A. Szenes for Witten zeta functions. Nous considérons l'espace RΔ des fonctions rationnelles en plusieurs variables, dont les pôles sont dans un arrangement d'hyperplans Δ fixé. Nous obtenons une décomposition de RΔ comme module sur l'anneau des opérateurs différentiels à coefficients constants. Nous généralisons à l'espace RΔ les notions de partie principale et de résidu, et nous décrivons ses relations avec les transformées de Laplace des fonctions localement polynomiales. Ceci explique des aspects algébriques des travaux de L. Jeffrey et F. Kirwan sur les intégrales de classes de cohomologie équivariantes dans les variétés hamiltoniennes. Comme autres applications, nous construirons, dans un autre article, des versions multidimensionnelles des séries d'Eisenstein, et nous obtiendrons une autre démonstration d'une formule de résidus pour les fonctions zêta de Witten, due à A. Szenes.

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